Entendendo a Gravidade: Parte 2 – A Construção da Relatividade Geral

Marcelo M. Guimarães
19/02/2017

Albert Einstein e suas contribuições para o nosso entendimento da natureza. [1]
Abordaremos hoje a construção da tão famosa Teoria da Relatividade Geral, apresentada ao mundo em 1915 por Albert Einstein.

Podemos considerar que o embrião da Relatividade Geral nasceu em 1907, durante a escrita de um artigo de revisão da Relatividade Restrita que Einstein preparava para o Anuário de Radioatividade e Eletrônica [2]. Einstein se pergunta de que modo a Gravitação Universal precisaria ser modificada para que as suas leis estivessem de acordo com a Relatividade Restrita. Ele percebeu que isso poderia ser feito, mas as suas hipóteses não tinham fundamento físico. Eis que acontece então, nas palavras de Einstein o “glücklichste Gedanke meines Lebens”, pensamento mais feliz da minha vida. Esse pensamento viria a se tornar o pilar da Relatividade Geral, que só estaria pronta 8 anos depois. Vamos examinar esse “pensamento” de Einstein em detalhe, pois ele é crucial. Colocarei em itálico as palavras do próprio Einstein.

O raciocínio segue da seguinte forma. O campo gravitacional tem uma existência relativa, algo parecido com o campo elétrico induzido, produzido através da variação do fluxo de campo magnético [3]. “Porque para um observador que cai livremente do telhado de uma casa não existe campo gravitacional”. Para não sermos atrapalhados pela resistência do ar, vamos realizar um experimento mental no espaço, próximo da Terra. Imagine que dois astronautas se desprenderam da Estação Internacional, para um observador na Estação eles estão em queda livre, atraídos pela Terra. Mas o que os dois astronautas observam? Quando olham um para o outro percebem que estão parados, cada um deles carrega uma ferramenta e quando as soltam, elas continuam nas posições onde foram soltas. Cada um deles pode pegar uma ferramenta e arremessar em direção ao outro, ambas ferramentas vão se mover em uma trajetória retilínea até ser pega pelo outro astronauta. Para os dois astronautas todas as observações os levam a concluir que estão em repouso um em relação ao outro, se arremessarem as ferramentas elas estarão em movimento retilíneo uniforme. Para esses dois astronautas, é como se o campo gravitacional da Terra não existisse, mas para o observador na Estação os astronautas estão caindo, acelerando a cada segundo devido à atração gravitacional. A existência do campo gravitacional é portanto relativa.

Em um dos experimentos, na minha opinião, mais lindos de se ver, uma pena e uma bola de boliche são soltos da mesma altura. Na ausência de ar veremos que os corpos chegarão ao solo ao mesmo tempo. Deixo aqui um link para esse experimento.

Todos os corpos, independentemente de massa, composição química, densidade, etc, caem com a mesma aceleração em um campo gravitacional. Einstein usou esse argumento para generalizar a gravitação a sistemas de coordenadas que estão em movimento não uniforme. O primeiro passo foi considerar dois referenciais; um com aceleração uniforme A na direção X e o outro em repouso em um campo gravitacional que aplica uma aceleração -A na direção X a todos os corpos. Utilizando a Relatividade Restrita, Einstein conseguiu ver que os referenciais eram equivalentes, ou seja, um observador não percebe diferença entre ser acelerado por uma força qualquer ou por um campo gravitacional uniforme. Esse é o pilar da Relatividade Geral e é conhecido como Princípio da Equivalência [4].

Voltando rapidamente aos dois astronautas, vamos realizar um segundo experimento mental. Os dois astronautas estão separados por uma distância de 2 metros, cada um segurando uma ferramenta, eles estendem os braços e soltam as ferramentas, que ficam paradas em relação aos astronautas e em relação a si mesmas, separadas por uma distância de 50 centímetros. Os astronautas passam a monitorar a distância entre as ferramentas, minuciosamente. Inicialmente elas parecem permanecer à mesma distância, mas observando por um tempo longo eles percebem, espantados, que a distância entre elas diminuiu, e que a distância entre eles também diminuiu. O campo gravitacional da Terra atua igualmente em todos os corpos, mas as trajetórias percorridas pelos corpos não são paralelas! Todos os corpos estão sendo atraídos para o centro da Terra. Dois corpos que começam seus movimentos em trajetórias paralelas, na presença de um campo gravitacional, não permanecem em trajetórias paralelas. Essa observação poderia levar os astronautas a concluir que estão em um campo gravitacional não uniforme.

Em 1912, cinco anos após iniciar sua batalha para generalizar a gravitação, Einstein chega a conclusão que a geometria Euclidiana não era suficiente, ou nas palavras dele “se todos os sistemas acelerados são equivalentes, então a geometria de Euclides não pode ser válida em todos eles.[5]” Foi com auxílio de Marcel Grossmann, um amigo da época da faculdade e então professor de geometria na Universidade de Zurique, que Einstein parte para a geometria de Riemann [6,7]. Era na geometria de espaços não-Euclidianos que residia a solução para os problemas que ele vinha enfrentando.

Como vimos no ensaio anterior (Entendendo a Gravidade: Parte 1 – Gravitação de Newton) a gravitação de Newton considera apenas a força de interação entre os corpos. Podemos no lugar da força pensar no campo gravitacional, que graças a algumas propriedades matemáticas assume a forma de um campo escalar [8]. Einstein descobriu que um campo escalar não era suficiente para resolver seus problemas, ele precisava de dez campos escalares! Ao transportar a geometria do problema para os espaços curvos ele passou a usar a álgebra tensorial. Para cada ponto do espaço associamos um tensor, que é um objeto matemático bem mais complicado do que o simples vetor ou um escalar. A parte geométrica estava pronta, o espaço-tempo era descrito como um espaço curvo. Restava uma pergunta: o quê causa a curvatura do espaço-tempo?

Einstein percebeu que não só a massa, mas também a energia deveria ser levada em conta no cálculo da deformação do espaço-tempo. Talvez uma das equações mais famosas da física seja a sua equação de equivalência entre massa e energia: E = mc2. Quando analisamos por exemplo um conjunto de partículas com massa e velocidade, percebemos que devemos levar em conta como fonte de gravitação todas as formas de energia: a massa (energia de repouso), o momento (energia cinética), todos os tipos de energia de interação entre as partículas, o fluxo de momento, o fluxo de energia, etc. Resumimos essa informação em um tensor, chamado de tensor stress-energia-momento e que contém 16 grandezas: a densidade de energia (1), os fluxos de energia (3), as densidades de momento (3) e os fluxos de momento (9).

Em 25 de novembro de 1915 a versão final das equações de campo de Einstein estavam finalmente prontas. Escrita em termos de suas componentes abaixo, onde as letras gregas  μ e ν assumem quatro valores, um para cada coordenada do espaço-tempo.

O primeiro termo da esquerda (G) é chamado de tensor de Einstein e contém a parte da curvatura do espaço-tempo, o segundo termo contém a constante cosmológica multiplicando o tensor de métrica (g). Do lado direito temos algumas constantes da natureza (G é a constante da gravitação universal e c é a velocidade da luz) multiplicando o tensor stress-energia-momento (T). Essa equação representa na verdade 16 equações diferenciais parciais hiperbólicas não-lineares.

Do lado direito temos as fontes de gravitação, que deformam o espaço-tempo da maneira descrita pelo lado esquerdo. Quando colocamos um corpo de massa bem pequena, nas proximidades de um corpo de massa muito grande (os astronautas dos nossos experimentos mentais), ele vai ter que se mover no espaço-tempo curvado pelo corpo de massa muito grande. Esse movimento acontecerá em uma trajetória que chamamos de geodésica e é a menor distância entre dois pontos nesse espaço-tempo curvo. A Relatividade Geral não usa o conceito de força. Os corpos se atraem porque deformam o espaço-tempo ao redor deles e se movem na geodésica dessa curvatura.

No próximo ensaio discutiremos os resultados experimentais que comprovaram a Teoria da Relatividade Geral na época de Einstein, as diversas previsões que ela fez e que foram comprovadas e as observações que ela parece não conseguir explicar.

[1] Crédito da imagem:  http://www.schuetky.com/physik// Creative Commons (CC BY 3.0).

[2] A Pais. Sútil é o Senhor… a Ciência e a Vida de Albert Einstein, Pág 208. Nova Fronteira (1995).

[3] A lei de Indução de Faraday nos mostra que se aproximarmos um ímã de uma espira, uma corrente elétrica surgirá na espira. Mas se aproximarmos a espira do ímã uma corrente também surgirá. O movimento relativo entre espira e ímã é que é essencial para o fenômeno.

[4]A Pais. Sútil é o Senhor… a Ciência e a Vida de Albert Einstein, Pág 210. Nova Fronteira (1995).

[5]A Pais. Sútil é o Senhor… a Ciência e a Vida de Albert Einstein, Pág 249. Nova Fronteira (1995).

[7] S Weinberg. Gravitation and Cosmology. Parte 1, Cap 1. Wiley (1972).

[8] No ensaio sobre Gravitação de Newton foi dito que o campo gravitacional é um campo vetorial. Como o força gravitacional é conservativa, podemos tomar o gradiente de uma função escalar para gerar o vetor força, portanto, o campo gravitacional assume uma forma mais simples, um campo escalar.

Como citar este artigo: Marcelo M. Guimarães. Entendendo a Gravidade: Parte 2 – A Construção da Relatividade Geral. Saense. URL: http://www.saense.com.br/2017/02/entendendo-a-gravidade-parte-2-a-construcao-da-relatividade-geral/. Publicado em 19 de fevereiro (2017).

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Marcelo M. Guimarães

Marcelo M. Guimarães

Doutor em Física. Professor da Universidade Federal de Sergipe. Escreve sobre Astrofísica no Saense.

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